笛卡尔的直角坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分是十七世纪数学最伟大的三大发明。

对数的概念是由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）在 1614 年所公布。18 世纪法国的大数学家拉普拉斯曾评价对数的发明：“在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”。

这样的高度评价源于对数在科学计算上的巨大贡献。在计算器和计算机尚未出现的时代，对数的应用大大简化了复杂的计算过程，这一发明对科学、工程和尤其是天文学的影响深远。

对数函数(Logarithm)

对数函数是数学中的一种基本函数，它是指数函数的逆函数。如果我们有一个指数方程 aᵧ = x，那么对应的对数方程是 y = logₐ(x)。

其中 a 是底数，x 是真数。这里的 y 就是 x 的以 a 为底的对数。

换句话说，对数函数回答了这样一个问题：底数 a 需要被乘以自身多少次才能得到另一个特定的数 x？

对数中，如自然对数底 e，常用对数底 10，以及二进制对数底 2。在数学和工程学中，自然对数和常用对数尤为重要，而二进制对数在计算机科学中具有广泛应用。下表列出了这些底数的常用的对数符号以及他们所使用的领域(图自维基):

对数和指数的互逆关系

指数与对数是互逆关系，两者在数学中都是非常重要的。从下面图形中可以看到左边为指数表达，右边则是对数表达结构:

对数函数动画

那么对数的图像在定义域内，究竟是怎样变化呢？请观察下面一系列取不同底数时候对数的函数图像，注意当 a > 0 时在不同范围内如何变化：

对数函数的图像显示了这一点，它展示了随着底数的变化，函数图像是如何从 y = 0 点开始，根据底数是大于 1 还是小于 1 分别向上或向下增长。

具体地说，当 0 < a < 1 时，图像随 x 增加而递减；当底数 a > 1 时，我们得到一个随 x 增加而增加的图像。

观察要点：

• 函数必经过点 (1,0) 处；
• 当 0 < a < 1 时，函数为严格单调下降；
• 当 a > 1 时，函数为严格单调上升；

指数与对数是互逆函数，现在用动画的方式来对指数和对数来进行一个对比：

对数函数必定会通过点 (1,0)，因为任何数的 0 次幂都是 1。而 y = x 线则作为指数函数和对数函数图像的对称轴，其中指数函数始终通过点 (0,1)。

观察要点：

• 对称轴为 y=x；
• 指数函数必经过点 (0,1)；
• 对数必经过点 (1,0)；

对数函数的性质

对数函数具有一些重要的性质，这些性质能够简化复杂的数学运算和数据处理。

1. 乘法转加法：对数的一个核心性质是将乘法运算转换为加法运算。即：

log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)

2. 除法转减法：类似地，对数可以将除法运算转换为减法运算。即

log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)

3. 幂运算转乘法：对数还可以将幂运算转化为乘法。即

log_b(xʸ) = y * log_b(x)

4. 对数的底数变换公式：

log_b(x) = logₖ(x) / logₖ(b)

其中 k 是新的底数，这个公式使得我们能够在不同底数的对数之间进行转换。

伟大的对数表(Logarithm Tables)

现在我们回过头再来解释下为什么拉普拉斯说对数为“用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”。

原因就是，在16世纪和17世纪，天文学家和航海家需要进行大量的计算以确保精确性和安全性。这些计算通常涉及复杂的三角函数和大数的乘除法，非常耗时且容易出错。而利用对数的性质可以将乘除转为加减运算，这个发现当时震动了整个数学界。

我们来看看怎样利用对数的性质来简化计算，简单来讲是将注意力从需要参与计算的数转移到了幂的部分，只要底数相同，利用前面的运算性质就能使得计算变得简便。

以计算 512×8192 为例看下整个计算的过程。下面图形是底数为 2 对应的幂以及相对应的结果，类似这样的映射关系是人们可以直接从《常用对数表》直接查询到的。

想要求出 512×8192 的结果，需要查 512 所对应的指数为 9，而 8192 对应 13。

然后可以轻松计算出 9+13=22，上面过程用公式表达如下：

log₂(512 × 8192) = log₂(512) + log₂(8192) = 9 + 13 = 22

再去《对数反查表》中反向去查 22 所对应的值，就得到结果为 4194304，因此，512 × 8192 = 4194304。

上面是把两个大数（512×8192）的乘法转化成加法（9+13）借助查表算出结果，类似对于大数的除法运算也可以转成减法来做。加减法当然要比乘除法更容易得多，所以说这是一个伟大的简化数值计算方法。